Teoria probabilității (o scurtă istorie a riscului)

Autor: Victorița Dolean

Cuantificarea riscului, ce a dat naștere disciplinei moderne numită teoria probabilității este un concept relativ nou dacă îl situam în perspectiva mai largă a dezvoltării științelor. Am putea deduce că omenirea a așteptat mii de ani înainte de a îndrăzni să cuantifice ceea ce până atunci era un teritoriu rezervat zeilor: incertitudinea. Prin urmare, nu este surprinzător faptul că stăpânirea riscului prin mijloace științifice, care este un instrument omniprezent azi în luarea deciziilor financiare sau de zi cu zi, a avut loc în timpul unei perioade foarte înfloritoare pentru omul autonom, Renașterea. Privind retrospectiv, se poate spune că toate mințile mari ale timpului, în armonie şi comunicând eficient, au dus la progrese importante în toate domeniile.

Ca origine, esența riscului (sfidarea soartei incerte), este strâns legată de jocurile de noroc, o distracție populară dintotdeauna (jocurile de zaruri sunt la fel de vechi ca civilizația egipteană și greacă, iar jocurile de cărți au apărut inițial în Asia (poker-ul este o variantă americană relativ nouă – doar de 150 de ani). Acestea se pot considera ca fiind motivația sau modelul unei acțiuni umane ce implică asumarea de riscuri. In ciuda competențelor și instrumentelor științifice la îndemână, convingerea că adevărul stă în ceruri și că „asemănarea cu adevărul nu este același lucru ca adevărul” (Socrate) i-au împiedicat pe cei mai străluciți exponenți ai civilizațiilor primare să împingă lucrurile spre un progres științific cert. Același corolar poate fi aplicat și în secolele ce au urmat atunci când contemplarea necunoscutelor viitorului a fost considerată un act de credință. Cu toate acestea, oamenii se confruntau cu tot mai multe incertitudini cu privire la natura practică a vieții de zi cu zi, un impuls fiind accelerarea diferitelor descoperiri, cum ar fi explorarea geografică.

O problemă recurentă, provocatoare, ce poate fi considerată un simplu joc mintal a fost pusă la sfârșitul secolului al XV-lea de către Luca Paccioli („inventatorul” contabilității, un călugăr franciscan și profesor de matematică în Milano), de fapt, întrebarea ce dat naștere, puțin mai târziu, prin Pascal şi Fermat, teoriei probabilității: „A și B joacă un joc de balla. Sunt de acord să continue până când cineva a câștigat 6 partide. Jocul se oprește de fapt când A a câștigat cinci, și B, trei. Cum ar trebui împărțite mizele?„. Un secol mai târziu, o minte strălucitoare a fost foarte aproape de definirea conceptului de probabilitate pe care majoritatea elevilor de liceu acum îl cunosc, cum ar fi ca șansa de a extrage o regină dintr-un pachet de 52 de cărți este de 1/52, sau probabilitatea de a avea o fața in aruncarea monedei este ½. Girolamo Cardano, o figură complexă, al cărui primă slujbă era cea de medic (chiar foarte recunoscut, fiindu-i cerut sfatul de către papă și familiile regale ale Europei), lăsând însă moștenirea cea mai importantă în istoria științei, o consecință a pasiunii lui pentru matematică unde este cunoscut pentru formulele detaliate de rezolvare a ecuațiilor de gradul 3 și 4. Autorul a mai mult de 131 de lucrări tipărite (în timp ce susține că a ars mai mult decât atât) a fost de asemenea un jucător compulsiv, fapt ce a dus la prima sa încercare serioasă de a dezvolta principiile statistice ale probabilității „Liber de Ludo Aleae”.

În timp ce oamenii de știință anteriori nu aveau drept scop să stabilească o teorie sistematică a probabilității, ci să rezolve problemele practice legate de jocurile de noroc folosind metode matematice, trei francezi (Pascal, Pierre de Fermat și Chevalier de Mere) au completat efortul, punând bazele unui domeniu modern, necunoscut chiar lor incipient. Chevalier de Mere a fost un nobil pasionat de jocuri de noroc și de matematică, Pascal, un copil precoce ce a beneficiat de cea mai bună educație privată și interacțiunea cu cele mai mari minți ale timpului, iar Pierre de Fermat, un avocat erudit și politician, dar mai ales un matematician foarte talentat în timpul liber, cu contribuții semnificative în teoria numerelor (a se vedea faimoasa Teoremă a lui Fermat conjecturată acum câteva sute de ani dar demonstrata abia in secolul XX) și dezvoltarea analizei clasice. Jocul de balla introdus inițial de Paccioli a atras atenția acestor personalități, și pe baza inițiativei jucătorului de cărți/zaruri/etc. De Mere a reluat întrebarea lui Luca Paccioli către Pascal, iar acesta a transferat-o lui Fermat, fiind originea unei lungi corespondențe dintre între cei doi, ce a dus finalmente la descoperiri importante și la o nouă teorie matematică (demn de menționat e că cei doi nu s-au întâlnit niciodată în viața reală). Având în vedere personalitățile si preocupările lor, am putea spune că problema conținea valențe mai mult decât matematice în cazul lui Pascal (atât de profund implicat religios) în timp ce era o chestiune morală pentru juristul Fermat. O anecdotă cu aromă probabilistică ce permite să se înțeleagă spiritul care a animat omul de știință Pascal, și după aceea, Pascal misticul, este ceea ce noi numim Pariul lui Pascal. Pascal argumentează că o persoană rațională ar trebui să trăiască ca și cum Dumnezeu ar exista și să caute să creadă în Dumnezeu, căci chiar dacă existența lui Dumnezeu nu poate fi determinată prin rațiune, rezultatul convingerilor omului poate fi cuantificat ca într-un pariu sau în aruncarea monedelor. Dacă Dumnezeu există, o astfel de persoană va avea doar o pierdere finită în viață (unele plăceri, lux, etc.), în timp ce ei vor primi câștiguri infinite (reprezentate de eternitatea din cer) evitând pierderile infinite (eternitatea în iad). Pariul lui Pascal a fost revoluționar pentru că a marcat prima utilizare oficială a teoriei deciziei și a anticipat filosofii viitoare, cum ar fi existențialismul, pragmatismul și voluntarismul.


Matricea pariului lui Pascal. Concluzia matematicianului francez e simplă: Cred

 

Această nouă teorie numită inițial geometrie aleatorie de către Chevalier de Méré în 1654, este numită ulterior calculul computațional, aritmetica politică și mai frecvent astăzi teoria probabilităților. A fost studiată intens de mulți gânditori și oameni de știință precum Kepler, Galileo, Leibniz, Huygens, Halley, Buffon, frații Bernoulli, Moivre, Euler, D’Alembert, Condorcet, Laplace, Fourier. Se bazează în principal pe evenimente discrete și combinatorice. Fără a intra în detaliile contribuțiilor fiecăruia – există câteva concepte fundamentale, care fac parte din vocabularul comun în multe ramuri ale științelor, care au fost incluse în ceea ce am numi „teoria probabilității clasice”.


Jucătorii de zaruri care au înțeles teoria probabilității au căpătat un adevarat „avantaj competitiv” în lupta cu adversarii

Una dintre acestea este noțiunea de valoare estimată introdusă în 1738 într-o lucrare intitulată „Noua teorie privind măsurarea riscului” de către matematicianul elvețian Daniel Bernoulli, care avea atunci vârsta de 38 de ani. Lucrarea sa este una dintre cele mai profunde documente scrise vreodată, nu numai pe tema riscului, ci si despre comportamentului uman, relațiilor complexe dintre măsuri și caracter care ating aproape fiecare aspect al vieții. Daniel a fost un om al epocii sale, nu numai un matematician, ci și un „medic, botanist și anatomist, scriitor despre hidrodinamică și foarte precoce”. Deși conceptul de utilitate este experimentat intuitiv în lucrările sale, noțiunea mai tehnică de valoare estimata pare mai atrăgătoare pentru matematicieni. Mai precis, suma valorilor fiecărui număr dintr-un ansamblu de rezultate măsurate înmulțită cu probabilitatea fiecărui rezultat în raport cu toate celelalte posibilități. Pentru a da un exemplu simplu: o monedă are două părți, cu o șansă de 50% de a cade pe o parte sau pe cealaltă in urma aruncării. Care este valoarea estimată a unei aruncări de monede? Se obține multiplicând 50% care e probabilitatea de a cădea pe o față sau alta, calculăm suma și împărțim la doi. Valoarea estimată a pariurilor pe o aruncare a monedei este deci de 50%.

Jacob Bernoulli (unchiul lui Daniel) a introdus pentru prima dată ceea ce numim Legea numerelor mari, care nu vă spune că media aruncărilor dvs. se va apropia de 50% pe măsură ce creșteți numărul de aruncări. Mai degrabă, legea afirmă că creșterea numărului de aruncări va crește în mod corespunzător probabilitatea ca raportul dintre numărul de fețe aruncate si numărul de aruncări totale să fie suficient de aproape de 50% la o distanța declarată a priori, indiferent cât de mică este. Bazându-se pe aceasta, el afirmă că putem face o predicție despre orice cantitate incertă care va fi la fel de științifică ca și predicțiile făcute în jocurile de noroc: „Dacă astfel s-ar putea repeta toate evenimentele din toată veșnicia, s-ar găsi că totul în lume se întâmplă din anumite cauze și conform unor reguli clare și că am fi forțați astfel să presupunem printre cele lucrurile în aparentă fortuite o anumită necesitate sau, altfel spus, SOARTA”

Abraham de Moivre a fost un matematician francez forțat să plece în exil în Anglia din cauza persecuției religioase a protestanților de la sfârșitul secolului al XVII-lea și începutul secolului al 18-lea. Si-a câștigat este viața dând meditații private de matematică și a produs cel de-al doilea manual în teoria probabilității în 1711. El a introdus în a doua ediție a acestei cărți noțiunea de distribuție normală, cunoscută azi drept o curbă normală sau, din cauza asemănării sale cu un clopot, ca o curbă clopot. Distribuția, atunci când este trasată ca o curbă, prezintă cel mai mare număr de observații grupate în centru, aproape de medie, cu alte cuvinte media numărului total de observații. Curba se înclină simetric în jos, cu un număr egal de observații pe fiecare parte a mijlocului, coborând într-o pantă abruptă la început și apoi prezentând o pantă plată descendentă la fiecare capăt. Cu alte cuvinte, observațiile departe de medie sunt mai puțin frecvente decât observațiile apropiate de medie.

Fața teoriei probabilității s-a schimbat foarte mult la începutul secolului al XX-lea, când matematicianul rus Kolmogorov a făcut legătura dintre anumite ramuri ale analizei și probabilități, forțând introducerea variabilelor aleatorii continue în teorie. Astfel, probabilitatea clasică s-a transformat în analiza probabilității.

Secolul al XX-lea a fost de asemenea martorul dezvoltării aplicării teoriei probabilităților în mai multe științe: Erwin Schrödinger a studiat ecuația care determină evoluția undelor în timp, Max Born folosește această ecuație pentru a descrie o coliziune între particule cum ar fi electroni sau atomi marcând începutul unei noi abordări a fizicii cuantice. Să nu mai vorbim de folosirea probabilităților în managementul riscurilor si finanțe prin lucrările de pionierat ale lui Louis Bachelier, unul dintre primii matematicieni care au modelat modificările prețurilor acțiunilor folosind variabile aleatorii „piața respectă doar o singură lege: legea hazardului”. Fizica, finanțele și mai târziu biologia au marcat un nou trend care a determinat evoluții viitoare în această disciplină. (va urma)

Victorița Dolean este doctor în matematică, profesor la Universitatea Strathclyde, Glasgow, Marea Britanie.

DistribuieShare on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInShare on RedditEmail this to someone