Teoria jocurilor: matematica în viața de zi cu zi (II)

Autor: Victorița Dolean

„Jocurile combinate de șansă și abilitate dau cea mai bună reprezentare a vieții umane, în special a afacerilor militare și a practicii medicinei, care depinde în mod necesar, în parte, de abilitate și, parțial, de șansă. Ar fi de dorit să existe un studiu complet al jocurilor, tratat matematic. ” – Gottfried Wilhelm von Leibniz
(citat de Oskar Morgenstern, “Dicționar de istorie a ideilor”)

După o introducere istorică, ne-am putea întreba cum funcționează în practică teoria jocurilor, și care ar fi potențialele sale aplicații. Dar mai întâi, care este conceptul matematic cantitativ folosit când vrem să rezolvăm o problemă; pentru aceasta vom vorbi despre dificultatea de a formaliza jocurile. Totul a pornit de la Von Neumann care și-a transformat talentul matematic şi cel de poker (el frecventa asiduu cabaretele și de viața de noapte din Berlin) într-o nouă paradigmã în economie și a conceput instrumente matematice abstracte care transcend aplicațiile din diferite domenii. Chiar dacă particularitatea științelor sociale (prin definiție nedeterministe în principal datorită factorului uman mai puțin previzibil decât o moleculă în chimie) a făcut dificilă abordarea „influenței predicțiilor asupra evenimentelor prezise”, von Neumann și Morgenstern, un economist care a lucrat cu el) au reușit cu oarecare succes să „stabilească faptul că problemele tipice ale comportamentului economic devin strict identice cu noțiunile matematice ale jocurilor de strategie”. Teoria jocului ne spune ce se va întâmpla dacă oamenii se comportă în mod egoist și rațional, conduși de interesul propriu. Expresia acestuia, numită utilitate, a fost explicată de Adam Smith (n.b. autorul a ceea ce e considerată a fi prima lucrare științifică de economie politică, “Bogăția națiunilor”, 1776) în așa fel încât a format un nucleu central al filosofiei economice ulterioare.

În al doilea război mondial, generalul american George Kenney (comandant al forțelor aliate în pacificul de Sud-Vest) știa că japonezii vor trimite un convoi de nave de aprovizionare către Noua Guinee. Aliații, în mod firesc, au vrut să-l bombardeze. Dar convoiul putea s-o ia pe una din cele două căi posibile – una spre nord iar una la sud. Oricare dintre trasee dura trei zile deci în principiu, aliații ar putea bombarda convoiul timp de 3 zile. Dar prognozele meteo spuneau că traseul nordic va fi ploios una dintre zile, limitând timpul de bombardament la maxim două zile. Traseul sudic în schimb ar oferi vizibilitate timp de trei zile de bombardament. Generalul Kenney trebuia să decidă dacă să trimită avioanele de recunoaștere spre nord sau spre sud. Dacă le-ar trimite spre sud și convoiul s-ar duce spre nord, ar pierde încă o zi de bombardament (din cele două disponibile). Dacă avioanele de recunoaștere s-ar duce spre nord, bombardierele ar avea încă două zile la dispoziție după ce ar schimba direcția în cazul în care convoiul ar merge spre sud. Deci, matricea „payoff” arată astfel, cu numerele care dau „câștigurile” aliaților în zile de bombardament:

Dacă ne uitam la această matrice de joc din punctul de vedere al aliaților s-ar putea să nu ne dăm seama imediat de strategia evidentă, dar din partea japoneză reiese cu ușurință că mersul spre nord este singura mișcare care are sens. Dacă convoiul ar lua calea sudică ar fi fost bombardat cu siguranță timp de două zile, poate chiar trei. Dacă ar merge spre nord, ar avea maximum două zile (poate doar una), deci un câștig la fel de bun sau mai bun decât oricare dintre posibilitățile care merg spre sud. Generalul Kenney a concluzionat încrezător că japonezii vor merge spre nord, astfel încât singura strategie logică a aliaților ar fi să trimită și avioanele de recunoaștere spre nord. (Intr-adevăr, japonezii au luat calea de nord și au suferit pierderi grele de la bombardierele aliate.)

Familiarul joc de copii – ce excede mult vârsta inocenței, Piatră-Hârtie-Foarfecă (Rock-Paper-Scissors – RPS) are la baza exact teoria jocului, iar cei ce excelează în el sunt aceia care au înțeles teoria în subtilitatea ei.


Piatră-Hârtie-Foarfecă se joacă cam așa…

Astfel, doi jucători afișează fiecare unul din cele trei simboluri: o piatră, hârtie sau foarfecă. Piatra bate foarfeca, foarfeca bate hârtia tăind-o, și hârtia bate piatra acoperind-o. RPS este un exemplu de joc de sumă nulă fără informații perfecte. Ori de câte ori un jucător câștigă, celălalt pierde. Putem exprima acest joc folosind o matrice payoff care explică ce câștigă un jucător cu fiecare strategie utilizată de amândoi. Rândurile reprezintă strategiile posibile ale jucătorului 1, în timp ce coloanele reprezintă strategiile posibile ale jucătorului 2. 1 reprezintă o victorie pentru jucătorul 1, 0 o remiza și -1 o pierdere pentru jucătorul 1. De exemplu, intrarea din stânga sus este 0, deoarece dacă ambii jucători afișează pietre, e vorba despre o remiză. Intrarea de mijloc superioară este -1, deoarece dacă jucătorul 1 afișează o piatră și jucătorul 2 afișează hârtie, jucătorul 2 câștigă și, prin urmare, jucătorul 1 pierde.

Jocul este adesea folosit ca metodă de alegere într-un mod similar cu aruncarea monedei sau a zarurilor. Spre deosebire de metodele cu adevărat aleatoare, RPS poate fi jucat cu un anumit nivel de pricepere prin recunoașterea și exploatarea comportamentului non-aleatoriu al adversarilor. In acest sens, există o societate mondială a RPS (http://worldrps.com) care promovează jocul și contribuie la organizarea de campionate!

Există numeroase alte aspecte ale teoriei jocurilor și declinări are ideilor simple prezentate mai sus. Fără a intra în detalii (unele dintre denumiri fiind deja foarte sugestive) putem vorbi de jocuri cooperative sau nu, simetrice/ne simetrice, de sumă nulă (cele de noroc de exemplu ca și poker-ul) sau nu, mergând până la variante mai sofisticate cum ar fi jocurile combinatorice (e.g. jocul de table – în strânsă legătură cu dezvoltarea cercetării în inteligența artificială), cu mulți jucători sau evolutionare (deseori întâlnite în biologie). Nash a oferit prima generalizare reală, adică jocurile de sumă non nulă, în ipoteza că nu există coaliții și nici o cooperare între jucători. Economistul Robert Weber o rezuma în felul următor: „echilibrul Nash ne spune ceea ce ne-am putea aștepta să vedem într-o lume în care nimeni nu face nimic greșit” sau, după descrierea lui Samuel Bowles, un alt economist celebru, echilibrul Nash „este o situație în care toată lumea face tot ce poate, dat fiind ceea ce fac toți ceilalți”. Noțiunea de echilibru a lui Nash surprinde o trăsătură critică a lumii sociale, astfel încât folosind uneltele matematice adecvate am înțelege cum ar putea ajunge oamenii la stabilitate într-o situație socială prin compararea situației cu un joc.

Ar fi demn de menționat câteva variante un pic mai “exotice” și mai recente, ultima din ele fiind într-o oarecare măsură o expresie a sinergiei ideilor în științele moderne. In timp ce teoria tradițională jocurilor se concentrează asupra echilibrelor matematice, maximizării utilităților și alegerilor raționale, în teoria comportamentală a jocurilor lucrurile stau diferit. Un joc folosit frecvent pentru a ilustra această teorie este concursul de frumusețe a lui Keynes, concept dezvoltat de John Maynard Keynes (celebrul economist britanic, considerat a fi tatăl macroeconomiei) pentru a explica fluctuațiile prețurilor pe piețele de capital. Keynes a descris acțiunea agenților într-o piață folosind o analogie bazată pe un concurs fictiv, în care participanților li se cere să aleagă șase dintre cele care cred ei ca vor fi cele mai atractive figuri din o sută de fotografii. O strategie naivă ar fi alegerea pozelor care, în opinia participantului, sunt cele mai frumoase.
Un competitor mai sofisticat, dorind să-şi maximizeze șansele de a câștiga un premiu, s-ar gândi la percepția majorității despre frumusețe și apoi va face o selecție bazată pe asta. Această metodă poate fi dusă un pas mai departe pentru a ține seama de faptul că şi alți participanți ar avea fiecare propria opinie despre percepția publicului. Astfel, strategia poate fi extinsă la nivelul următor și așa mai departe, la fiecare nivel încercând să prezică rezultatul final al procesului bazat pe raționamentul altor agenți. Keynes credea că un comportament similar funcționează în cadrul pieței de valori. Nivelul de prețuri nu se bazează pe ceea ce agenții cred că este valoarea lor intrinsecă, ci mai degrabă pe ceea ce ei cred că toți ceilalți consideră că valoarea lor este sau ce ar presupune toți ceilalți evaluarea medie a valorii.
Intr-un sens mai larg, generalizând ideile de mai sus, teoria comportamentală a jocurilor reprezintă o știința hibridă utilizând metode matematice dar și de economie sau psihologie experimentala şi e produsul recent a ultimelor trei decenii de cercetare.


Numai șase-s norocoase. Concursul de frumusețe a fost folosit pentru înțelegerea pieței de capital. 

Un ultim exemplu edificator ar fi teoria cuantică a jocurilor. Menajul fizicii cuantice cu teoria jocurilor este destul de naturală și e surprinzător că nimeni nu a descoperit mai devreme legătură având în vedere ca John von Neumann, inițiatorul teoriei moderne a jocurilor a fost, de asemenea, un pionier în mecanică cuantică. (Impulsul inițial pentru jocurile cuantice a provenit din faptul că von Neumann a fost, de asemenea, un pionier în dezvoltarea calculatoarelor digitale.) In câteva linii: există o analogie puternica între faptul că strategia cea mai bună într-un joc nu este fixă ci e un amestec de strategii diferite (să zicem A 70% din timp şi B 30% din timp) în același fel în care poziția unei particule în fizica cuantică nu poate fi determinată definitiv ci doar descrisă cu o anumită probabilitate (de exemplu în regiunea A în 70% din timp si B 30% din timp). Aceasta a oferit o altă perspectivă atât asupra jocurilor, cât și asupra fizicii, cu implicații care așteaptă explorarea ulterioară.

Numeroasele exemple de mai sus sunt relevante pentru importanța teoriei jocurilor şi ale diferitelor sale ramificații. Alte doua premii Nobel au fost acordate pentru realizări remarcabile în domeniu. Thomas Schelling, un economist American a înțeles că teoria jocurilor oferă un cadru unic pentru unificarea științelor sociale, o viziune pe care a articulat-o în cartea sa din 1960, “The Strategy of Conflict”. Premiul Nobel (pe care l-a împărțit în 2005 cu Robert Aumann şi el un teoretician al jocurilor!) l-a obținut pentru a fi contribuit “la îmbunătățirea înțelegerii noțiunii de conflict şi cooperare utilizat teoria jocurilor”, la modul profund s-ar putea spune ca a înțeles și modelizat câteva elemente definitorii al civilizației în sine.

Aventura teoriei jocurilor, foarte ambițioasă, a încercat să transcrie într-un limbaj matematic şi algoritmic riguros (jocurile cu mulți jucători sau complexitatea modelelor necesită un aparat specific și interdisciplinaritate) fenomene până atunci exotice şi fără aparentă legătură între ele, cum ar fi dinamica conflictelor, negocierilor, evoluția piețelor de capital, sau evoluția populațiilor în biologie. Fizica cuantică, matematica, informatica, economia, psihologia și biologia toate au contribuit la dezvoltarea unui domeniu pe cât de fascinant, pe atât de viu și complex, dar accesibil şi necesar prin varietatea aplicațiilor, cu rădăcini în realitatea palpabilă a vieții sociale.

 

Victorița Dolean este doctor în matematică, profesor la Universitatea Strathclyde, Glasgow, Marea Britanie.

 

Bibliografie:

Tom Siegfried, „A Beautiful Math: John Nash, Game Theory, and the Modern Quest for a Code of Nature”

 

DistribuieShare on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInShare on RedditEmail this to someone